Question

已知函數(shù)f(x)=x³-ax²+3x

    (Ⅰ)若函數(shù)f(x)在x∈[1，+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

    (Ⅱ)若x=3是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，設(shè)m＞1，求函數(shù)f(x)在[1，m]上的最小值和最大值．

Answer 1

答案：解：(Ⅰ)依題意得f′(x)=3x²-2ax+3 

欲使函數(shù)f(x)在x∈[1，+∞)是增函數(shù)，

僅須或解之得  a≤3

故若f(x)在x∈[1，+∞)是增函數(shù)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，3] 

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x²-2ax+3，且x=3是f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(3)=0

且30-6a=0，所以a=5 

于是f′(x)=3x²-10x+3=3(x-3)(x)，

∴函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn)為x=

所以，在區(qū)間(1，3)上f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)；

在區(qū)間(3，+∞)上f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)

(ⅰ)當(dāng)1＜m≤3時(shí)，f(x)的最小值為f(m)=m³-5m²+3m，

最大值為f(1)=-1 

(ⅱ)令f(m)=f(1)，即m³-5m²+3m=-1

∴(m-1)(m²-4m-1)=0，

解得m=2+，m=2-(舍)，m=1(舍)

即當(dāng)3＜m≤2+時(shí)，

f(x)的最小值為f(3)=-9，最大值為f(1)=-1(11分)

(ⅱ)當(dāng)m＞2+時(shí)，f(x)的最小值為f(3)=-9，

最大值為f(m)=m³-5m²+3m