Question

F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)
（1）直線l斜率為1且過點(diǎn)F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，，求a值
（2）若直線l方程為y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則l方程為y=x+c；設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，知，所以（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，再由韋達(dá)定理能夠得到a值．
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：，（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，再由韋達(dá)定理能夠得到a值．
解答：解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，則l方程為y=x+c；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，
∴⇒（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，
，
由得
解得…（6分）
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程：⇒（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，
，，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0⇒5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0
代入得，
∴…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時(shí)要注意橢圓性質(zhì)的靈活運(yùn)用和等差數(shù)列的合理運(yùn)用，同時(shí)要注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．