Question

12．已知函數(shù)f（x）=aln（x-a）-$\frac{1}{2}$x²+x（a＜0）．
（1）當(dāng)a=-2時，求f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上的最小值（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.6931）；
（2）若函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入f（x），然后對 f（x） 進行求導(dǎo)，令 f′（x）=0，可得極值點，再與端點值進行比較，就可得出f（x）的最小值．
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為零，由只有一個可以確定兩個極值為同號．

解答 解：（1）∵a=-2
∴f（x）=-2ln（x+2）-$\frac{1}{2}$x²+x
∴$f′（x）=\frac{-2}{x+2}-x+1$=$-\frac{{x}^{2}+x}{x+2}$
令f′（x）=0，x=0，x₂=-1
f（x）有兩個極值f（0）=-2ln2，f（-1）=$-\frac{3}{2}$
f（x）兩個端點處的值為f（2）=-2ln4=-4ln2，f（-$\frac{3}{2}$）=2ln2-$\frac{21}{8}$
∴f（x）的最小值為-4ln2
（2）定義域為（a，+∞）
f′（x）=$\frac{a}{x-a}-x+1$
=$-\frac{{x}^{2}-（a+1）x}{x-a}$
=$-\frac{x（x-a-1）}{x-a}$
令f′（x）=0．則x₁=0，x₂=a+1
∵f（x）有且僅有一個零點
則f（x）的兩個極值均為正或負(fù)
f（0）=aln（-a）
f（a+1）=-$\frac{1}{2}$a²$+\frac{1}{2}$
∴f（0）-f（a+1）＞0
即aln（-a）（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}$）＞0
即ln（-a）（a-1）（a+1）＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＞0}\\{（a-1）（a+1）＞0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＜0}\\{（a-1）（a+1）＜0}\end{array}\right.$
由此得a＜-1或-1＜a＜0
∴a的范圍是a＜-1或-1＜a＜0

點評 本題主要考察了對導(dǎo)數(shù)的求解和對只有一個零點的理解，屬于經(jīng)常接觸的題目，可以記住此類型的對應(yīng)結(jié)論．