Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）記函數(shù)圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)，是曲線上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)．試問(wèn)：曲線在點(diǎn)處的切線是否平行于直線？并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1），（2）（3）不平行

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，分四步：第一步，求定義域，，第二步，求導(dǎo)，，關(guān)鍵在因式分解，目的解不等式. 第三步解不等式由，得，第四步，寫(xiě)結(jié)論，的單調(diào)增區(qū)間為．（2）求函數(shù)最值，其實(shí)質(zhì)還是研究其單調(diào)性. 當(dāng)時(shí)，由，得，，①當(dāng)>1，即時(shí)，在上是減函數(shù)，所以在上的最小值為．②當(dāng)，即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為．③當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，所以的最小值為．（3）是否平行，還是從假設(shè)平行出發(fā)，探究等量關(guān)系是否成立. 設(shè)，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，直線AB的斜率=，曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率,由得，不妨設(shè)，，則，下面研究函數(shù)是否有大于1的解.易由函數(shù)單調(diào)性得方程無(wú)解.

試題解析：（1）， 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719083548656859/SYS201411171908481902354075_DA/SYS201411171908481902354075_DA.049.png">，，所以，解，得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為． 4分

（2）當(dāng)時(shí)，由，得，，

①當(dāng)>1，即時(shí)，在上是減函數(shù)，

所以在上的最小值為． 6分

②當(dāng)，即時(shí)，

在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為． 8分

③當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，

所以的最小值為．

綜上，函數(shù)在區(qū)間上的最小值

10分

（3）設(shè)，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，

直線AB的斜率

=，

曲線C在點(diǎn)N處的切線斜率

，

假設(shè)曲線C在點(diǎn)N處的切線平行于直線AB，則，

即， 13分

所以，不妨設(shè)，，則，

令，，

所以在上是增函數(shù)，又，所以，即不成立，

所以曲線C在點(diǎn)N處的切線不平行于直線AB． 16分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求最值，利用導(dǎo)數(shù)研究方程是否有解