Question

在直角坐標(biāo)平面，以（199，0）為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．

Answer 1

把圓心平移至原點(diǎn)，不影響問(wèn)題的結(jié)果，故問(wèn)題即求x²+y²=199²的整數(shù)解的個(gè)數(shù)．
顯然x、y一奇一偶，設(shè)x=2m，y=2n-1，且1≤m，n≤99．
則得4m²=199²-（2n-1）²=（198+2n）（200-2n）．
m²=（99+n）（100-n）≡（n-1）（-n）（mod4）．
由于m為正整數(shù)，m²≡0，1（mod4）；（n-1）（-n）≡

0，(當(dāng)n≡0，1(mod4)時(shí)) 2，(當(dāng)n≡2，3(mod4)時(shí)

，
二者矛盾，故只有（0，±199），（±199，0）這4解．
∴共有4個(gè)，即（199，±199），（0，0），（398，0），
故答案為4．