Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）。
（1）若函數(shù)f（x）在x=0，x=4處取得極值，且極小值為-1，求a、b的值；
（2）若x∈[-1，1]，函數(shù)f（x）圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為k，求k≥-1恒成立時(shí)a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由得x=0或x=2a/3
故2a/3=4，a=6
由于當(dāng)x<0時(shí)，，當(dāng)x>0時(shí)
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）達(dá)到極小值f（0）=b，所以b=-1；
（2）等價(jià)于當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，-3x²+2ax≥-1恒成立，即g（x）=3x²-2ax-1≤0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立
即g（x）的最大值不大于零，由g（x）的圖象知其最大值是端點(diǎn)值。由于g（0）=-1≤0，故只需g（1）=2-2a≤0，即a≥1
反之，當(dāng)a≥1時(shí)，g（x）≤0對(duì)一切x∈[0，1]恒成立
所以a≥1。