Question

已知函數(shù) f（x）的導(dǎo)數(shù)．f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b為實(shí)數(shù)，1＜a＜2．
（1） 若f（x）在區(qū)間_[-1，1]_上的最小值、最大值分別為-2、1，求a，b的值；
（2） 在（1）的條件下，求曲線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程．

Answer 1

（1）由已知f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
得f（x）=x³-

3

2

ax²+b，
由f′（x）=0即3x²-3ax=3x（x-a），解得x=0或x=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)增；當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)減，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，∴b=1，
又f（1）=1-

3

2

a+1，f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，∴f（-1）＜f（1）
由題意得最小值為f（-1）=-2，即-

3

2

a=-2，解得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1為所求；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，
點(diǎn)P（2，1）在曲線f（x）上，
當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線l的斜率k=f′（x）_|x=2=4，
∴切線l的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．