Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若AB=5，，求BC和BF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）BC=2，BF=

【解析】1）由已知條件可判定直線BF與⊙O相切

（2）在Rt△ANB中，利用邊角關系求出BE的長，進而求出BC所以△AGC∽△FBA，利用對應邊的比值相等求出PC，在利用勾股定理求出AE，則可求出．

證明：（1）證明：連結AE．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°．

∴∠1=∠2=90°．

∵AB=AC

∴∠1=∠CAB．

∴∠CBF=∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°．

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線．

（2）解：過點C作CG⊥AB于點G．

∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=

∵∠AEB=90°，AB=5，

∴BE=AB·sin∠1=

∵AB=AC，∠AEB=90°，

∴BC=2BE=2

在Rt△ABE中，由勾股定理AE==2

∴sin∠2=，cos∠2=．

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，

∴AG=3．

∵GC∥BF

∴△AGC∽△ABF．

∴BF=