Question

20.

    如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點(diǎn).

    (1)求O點(diǎn)到面ABC的距離；

    (2)求異面直線BE與AC所成的角；

    (3)求二面角E-AB-C的大小.

Answer 1

(1)取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD，

∵OB=OC，則OD⊥BC、AD⊥BC，

∴BC⊥面OAD.過O點(diǎn)作OH⊥AD于H，

則OH⊥面ABC，OH的長就是所要求的距離.

BC=2，OD=.

∵OA⊥OB、OA⊥OC，

∴OA⊥面OBC，則OA⊥OD.

AD=，在直角三角形OAD中，有OH=.

(另解：由V=S_△ABC·OH=OA·OB·OC=知：OE=.)

(2)取OA的中點(diǎn)M，連EM、BM，則EM∥AC，∠BEM是異面直線BE與AC所成的角.

求得：EM=，BE=，BM=.

cos∠BEM=

(3)連結(jié)CH并延長交AB于F，連結(jié)OF、EF.

∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB.又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，

則∠EFC就是所求二面角的平面角.作EG⊥CF于G，則EG=OH=.

在直角三角形OAB中，OF=，

在直角三角形OEF中，EF=，

sin∠EFG=，∠EFG=arcsin.(或表示為arccos)

方法二：(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）.

設(shè)平面ABC的法向量為=(x，y，z)，

則由知：=2x-z=0；

由知：=2y-z=0.取

=（1，1，2），則點(diǎn)O到面ABC的距離為

d=.

(2)=(2，0，0)-(0，1，0)=(2，-1，0)，=(0，2，-1).

cos<，>=，所以異面直線BE與AC所成的角arccos.

(3)設(shè)平面EAB的法向量為=(x，y，z)，則由⊥知：· =2x-z=0；

由⊥知：·=2x-y=0.取=（1，2，2）.

由(1)知平面ABC的法向量為=(1，1，2).

cos<，>=，

結(jié)合圖形可知，二面角E-AB-C的大小為：arccos.