Question

2．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=$\frac{2π}{3}$．
（1）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（2）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）取BE中點(diǎn)O，AE中點(diǎn)F，則可證四邊形OCDF是矩形，得出DF⊥OF，再由OC⊥BE，DF∥OC得出DF⊥BE，故而DF⊥平面ABE，于是平面ADE⊥平面ABE；
（2）過(guò)E作EG⊥BC，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則EG⊥平面ABD，將△ABD當(dāng)做棱錐底面，則EG為棱錐的高，代入體積公式計(jì)算．

解答 （1）證明：取BE中點(diǎn)O，AE中點(diǎn)F，連結(jié)OC，OF，DF，則OF$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AB$．
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=2CD
∴CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴CD$\stackrel{∥}{=}OF$．又∵AB⊥平面BCE，
∴四邊形OCDF是矩形．
∴DF⊥OF，DF∥OC，
∵BC=CE，O是BE中點(diǎn)，
∴OC⊥BE，
∴DF⊥BE，又OF?平面ABE，BE?平面ABE，OF∩BE=O，
∴DF⊥平面ABE，∵DF?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ABE．
（2）過(guò)E作EG⊥BC，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于G，
∵AB⊥平面BCE，EG?平面BCE，
∴EG⊥AB，又AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，AB∩BC=B，
∴EG⊥平面ABCD．
∵CE=2，∠BCE=$\frac{2π}{3}$，∴EG=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AB×BC=\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱錐A-BDE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}×EG$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面垂直，面面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，找到棱錐的高是解題的關(guān)鍵．