Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n；且向量

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共線．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{

1

nan

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用向量

a

=（n，S_n），

b

=（4，n+3）共線．得到n（n+3）-4S_n=0，根據(jù)和與項的關(guān)系得解．
（2）由（1）求出

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項求和的方法求出和T_n．

解答： 解：（1）∵

a

=(n，Sn)，

b

=(4，n+3)共線，∴n（n+3）-4S_n=0，∴Sn=

n(n+3)

4

∴a1=S1=1，當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

n+1

2

，又a1=1滿足此式，
∴a_n=

n+1

2

；
（2）

1

nan

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+…+2（

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

點(diǎn)評：求數(shù)列的前n項和，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項，根據(jù)通項的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．