Question

（1）當(dāng)m＞n＞3（m，n∈Z）時(shí)，證明：（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m．
（2）已知函數(shù)f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常數(shù)a＞0），如果對(duì)于f（x）的圖象上兩點(diǎn)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），存在x₀∈（x₁，x₂），使得f（x）的圖象在x=x₀處的切線m∥P₁P₂，求證：x0＜

x1+x2

2

．

Answer 1

分析：（1）將不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，變形可得原不等式等價(jià)于nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn．注意到n-m是正數(shù)，采用放縮：先證明nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn+（n-m），等價(jià)變形為

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

．因此考察函數(shù)F（x）=

x(1+lnx)

x-1

，利用導(dǎo)數(shù)研究F（x）的單調(diào)性得到F（x）在（3，+∞）上是增函數(shù)，從而得到F（m）＞F（n），即

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

成立，即可得到當(dāng)m＞n＞3（m，n∈Z）時(shí)，不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m成立．
（2）由f（x）的圖象在x=x₀處的切線m∥P₁P₂，列出等式化簡得f'（x₀）=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a．求出f'（x）的表達(dá)式得f'（

x1+x2

2

）=

2a

x1+x2

-（x₁+x₂-2）-a．根據(jù)f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，得到不等式x0＜

x1+x2

2

等價(jià)于f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），化簡得到ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．令g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，其中t=

x2

x1

＞1，證出g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，得到g（t）＞0，因此lnt＞

2(t-1)

t+1

，可得

lnt

t-1

＞

2

t+1

，再將t還原為

x2

x1

即可證出f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），從而得到x0＜

x1+x2

2

，原不等式成立．

解答：解：（1）不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m，等價(jià)于ln[（nm^m）ⁿ]＞ln[（mnⁿ）^m]
即nln（nm^m）＞mln（mnⁿ），等價(jià)于nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn，…（*）
考慮到n＞m得n-m＞0，為了證明上式成立，先證明nlnn+mnlnm＞mlnm+mnlnn+（n-m），
整理得0＜n（m-1）（1+lnn）＜m（n-1）（1+lnm），等價(jià)于

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

，
考察函數(shù)F（x）=

x(1+lnx)

x-1

，得F'（x）=

(2+lnx)(x-1)-x(1+lnx)

(x-1)2

=

x-2-lnx

(x-1)2

，
∵t=x-2-lnx的導(dǎo)數(shù)t'=1-

1

x

＞0在（3，+∞）上成立，
∴F'（x）≥F'（4）＞0，可得F（x）=

x(1+lnx)

x-1

在（3，+∞）上是增函數(shù)，
從而得到F（m）＞F（n），可得

m(1+lnm)

m-1

＞

n(1+lnn)

n-1

成立，因此得到（*）式成立．
綜上所述，可得當(dāng)m＞n＞3（m，n∈Z）時(shí)，不等式（nm^m）ⁿ＞（mnⁿ）^m成立．
（2）根據(jù)題意，得f'（x₀）= kP1P2=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a，
∵f'（x）=

a

x

-2（x-1）-a，
∴f'（

x1+x2

2

）=

2a

x1+x2

-（x₁+x₂-2）-a，且f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)
要證x0＜

x1+x2

2

，只需證明f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），
即證

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，即ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．
令t=

x2

x1

＞1，g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，得g'（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得g（t）＞g（1）=0，
由此可得lnt＞

2(t-1)

t+1

，即

lnt

t-1

＞

2

t+1

，將t還原為

x2

x1

得ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

．
因此，f'（x₀）＞f'（

x1+x2

2

），可得x0＜

x1+x2

2

，原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值、不等式的等價(jià)變形、用分析法證明不等式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、邏輯推理能力、計(jì)算能力和分析問題解決問題的綜合能力，屬于中檔題．