Question

（本小題滿分12分）橢圓C：的長軸是短軸的兩倍，點在橢圓上.不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△的面積為S.

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

（Ⅱ）試判斷是否為定值？若是，求出這個值；若不是，請說明理由？

（Ⅲ）求S的范圍.

Answer 1

（1），（2）5，（3）

【解析】

試題分析：首先借助橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程借助待定系數(shù)法求出得出橢圓方程，第二步設(shè)直線的方程，設(shè)而不求聯(lián)立方程組，消去得出關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，得出，根據(jù)直線OA、l、OB的斜率分別為、、，且、、恰好構(gòu)成等比數(shù)列，有，借助，找出關(guān)系，進而求出，代入，得出的范圍，最后表示，把代入后得出定值；第三步先求弦長，再求原點到直線的距離，表示出三角形的面積，再利用，得出面積的取值范圍.

試題解析：（1）由題意可知且，

所以橢圓的方程為

（2）設(shè)直線的方程為，由

恰好構(gòu)成等比數(shù)列.

=即 ，此時且 ，得，

（否則：，則中至少有一個為，直線中至少有一個斜率不存在，矛盾！）；

，=

所以是定值為．

（3）=

（），則：

考點：1.求橢圓方程；2.設(shè)而不求解題思想；3.減元思想；4.定點定值問題的解題方法；5.取值范圍問題；