Question

已知函數(shù)f(x)=ax-x²的最大值不大于，又當(dāng)x∈［,］時，f(x)≥.

（1）求a的值；

（2）設(shè)0＜a₁＜,a_n+1=f(a_n),n∈N^*,證明:a_n＜.

Answer 1

思路分析：在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，充分利用了數(shù)列遞推關(guān)系式a_n+1=f(a_n)=a²_n+a_n的函數(shù)單調(diào)性，需注意命題的遞推關(guān)系式中起點位置的推移.

(1)解：由于f(x)=axx²的最大值不大于,所以

f()=≤,即a²≤1.

又x∈［,］時f(x)≥,

所以解得a≥1.

∴a=1.

(2)證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，0＜a₁＜，不等式0＜a_n＜成立；

因f(x)＞0,x∈(0,),所以0＜a₂=f(a₁)≤＜,

故n=2時不等式也成立.

（Ⅱ）假設(shè)n=k(k≥2)時，不等式0＜a_k＜成立，

因為f(x)=x-x²的對稱軸為x=,知f(x)在［0,］為增函數(shù)，所以由0＜a_k＜≤得0＜f(a_k)＜f(),于是有

0＜a_k+1＜-·.

所以當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.

根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）可知，對任何n∈N^*，不等式a_n＜成立.

方法歸納

    將起點的位置推移至2的目的，就是要將a_k和置于函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間［0,］內(nèi)，從而由0＜a_k＜≤得0＜f(a_k)＜f().