Question

 

    已知橢圓拋物線有公共焦點，的中心和的頂點都在坐標原點，過點的直線與拋物線分別相交于兩點。

(I)寫出拋物線的標準方程；

(II)若，求直線的方程；

(III)若坐標原點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值。

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，                                …………2分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：.

聯(lián)立，消去，得 ， 

                                         ………………3分

顯然，設(shè)，

則                   ①

                         ②                               …………………4分

又，所以      ③                            …………………5分

由①② ③消去，得    ，               

故直線的方程為或 .                      …………………6分

（Ⅲ）設(shè)，則中點為， 因為兩點關(guān)于直線對稱，

所以，即，解之得，                …………………8分

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.                                    ………………………9分

聯(lián)立 ，消去，得：

.                            ………………………10分

由，得

，即，                    …………………12分

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，   

因此，橢圓長軸長的最小值為.                              ………………………13分