Question

20．如圖，AB，CD為圓O的兩條直徑，P為圓O所在平面外的一點，且PA=PB=PC
（1）求證：平面PAB⊥圓O所在平面，
（2）若圓O的半徑為2，PA=4，求以圓O為底面，P為頂點的幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA=PB，OA=OB，可得OP⊥AB，再利用勾股定理與逆定理可得OP⊥OC，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）在Rt△OAP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$．再利用圓錐體積計算公式可得：以圓O為底面，P為頂點的幾何體的體積V=$\frac{1}{3}•π•O{A}^{2}•PO$．

解答 （1）證明：如圖所示，
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP⊥AB，
∴PA²=OA²+OP²=OC²+OP²=PC²，
∴OP⊥OC，
∵AB∩CD=O，
∴OP⊥平面⊙O所在平面．
（2）解：在Rt△OAP中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴以圓O為底面，P為頂點的幾何體的體積V=$\frac{1}{3}•π•O{A}^{2}•PO$=$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}•2\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}π}{3}$．

點評 本題考查了勾股定理與逆定理、線面垂直的判定定理、圓錐體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．