Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3}{x}$-x+alnx，且x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設g（x）=f（x）-m，當函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)為0個，3個時，實數(shù)m的取值范圍分別為多少？（參考數(shù)據(jù)：ln5≈1.61，ln3≈1.10）

Answer 1

分析 （1）由f（x）解析式求出導函數(shù)解析式，把x=3代入導函數(shù)解析式求出a的值即可；
（2）令導函數(shù)大于0求出x的范圍，即為函數(shù)的增區(qū)間；令導函數(shù)小于0求出x的范圍，即為函數(shù)的減區(qū)間；
（3）令g（x）=f（x）-m=0，得到f（x）=m，可得函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點的個數(shù)，根據(jù)x的范圍，對應導函數(shù)的值，以及函數(shù)的值，列出表格，即可確定出零點的個數(shù)為0個，3個時，實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{a}{x}$，
∵x=3是函數(shù)f（x）的一個極值點，
∴f′（3）=0，即-$\frac{1}{3}$-1+$\frac{a}{3}$=0，
解得：a=4；
（2）由（1）知f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$，
令-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$＞0，解得：1＜x＜3，
令-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1+$\frac{4}{x}$＜0，及x＞0，解得：0＜x＜1或x＞3，
則當x∈（1，3）時，y=f（x）單調(diào)遞增；當x∈（0，1）時，y=f（x）單調(diào)遞減；當x∈（3，+∞）時，y=f（x）單調(diào)遞減；
（3）令g（x）=f（x）-m=0，可得f（x）=m，
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0，5]上零點的個數(shù)是y=f（x），x∈（0，5]與直線y=m交點的個數(shù)，
由下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	_	0	+	0	_
f（x）	↘	極小值2	↗	極大值4ln3-2	↘	4ln5-$\frac{22}{5}$

注意到：4ln3-2＞4ln5-$\frac{22}{5}$＞2，
∴函數(shù)f（x）在（0，5]的最小值為2，無最大值，
結(jié)合大致圖象可知：

當m＜2時，g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)為0；
當m=2或m＞4ln3-2時，g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)為1；
當2＜m＜4ln5-$\frac{22}{5}$或m=4ln3-2時，g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)為2；
當4ln5-$\frac{22}{5}$≤m＜4ln3-2時，g（x）=f（x）-m的零點個數(shù)為3，
則零點的個數(shù)為0個，3個時，實數(shù)m的取值范圍分別為m＜2；2.04≤m＜2.2．

點評 此題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性，以及函數(shù)的零點判定定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，導函數(shù)的性質(zhì)為：當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．