Question

7．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上的一點，若PF₁與雙曲線的一條漸近線平行，則cos∠F₁PF₂=（　　）

• A． $-\frac{11}{13}$
• B． $-\frac{11}{12}$
• C． $-\frac{7}{12}$
• D． $-\frac{1}{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)P為雙曲線上的一點，若PF₁與雙曲線的一條漸近線平行，求出直線直線PF₁的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），再聯(lián)立雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的方程，求出點P的坐標，根據(jù)余弦定理即可求出答案．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，c=2，
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
∵P為雙曲線上的一點，PF₁與雙曲線的一條漸近線平行，
∴直線PF₁的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{7}{4}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴P（-$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$），
∴|PF₁|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴|PF₂|=2a+|PF₁|=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{13\sqrt{3}}{6}$，
由cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2•|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$=-$\frac{11}{13}$，
故選：A

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和余弦定理，屬于中檔題