Question

關于x的方程ax³-x²+x+1=0在（0，+∞）上有且僅有一個實數(shù)解，則a的取值范圍為

a≤0或a=

5

27

．

Answer 1

分析：原條件?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有且僅有一個正實數(shù)解，令

1

x

=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數(shù)解，然后通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，畫出函數(shù)圖象，結合圖象可求出a的取值范圍．

解答：解：關于實數(shù)x的方程ax³-x²+x+1=0的所有解中，僅有一個正數(shù)解?a=

1

x

-

1

x2

-

1

x3

有僅有一個正實數(shù)解．
令

1

x

=t（t≠0），t的符號與x的符號一致，則a=-t³-t²+t有且僅有一個正實數(shù)解，
令f（t）=-t³-t²+t（t≠0），
f′（t）=-3t²-2t+1，由f′（t）=0得t=

1

3

或t=-1．
又t∈（-1，

1

3

）時，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（

1

3

，+∞）時，f′（t）＜0．所以[f（t）]_極大值=f（

1

3

）=

5

27

．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
結合三次函數(shù)圖象，如圖．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為a≤0或a=

5

27

．
故答案為：a≤0或a=

5

27

．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷，以及三次函數(shù)的性質，同時考查了數(shù)形結合與函數(shù)方程的思想，屬于中檔題．