Question

10．已知函數(shù)g（x）=bx²+cx+1，f（x）=x²+ax-lnx（a＞0），g（x）在x=1處的切線方程為y=2x
（1）求b，c的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值為3，若存在，求出所有滿足條件的實(shí)數(shù)a；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由已知切線方程，可得2b+c=2，b+c+1=2，解得b，c即可；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$，通過(guò)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值情況，即可判斷是否存在．

解答 解：（1）g（x）=bx²+cx+1的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2bx+c，
g（x）在x=1處的切線斜率為2b+c，
由g（x）在x=1處的切線為y=2x，
則2b+c=2，b+c+1=2，
解得b=1，c=0；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=x²+ax-lnx+1-（x²+1）=ax-lnx，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使h（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，h有最小值3，
h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，h（x）_min=h（e）=ae-1=3，
解得a=$\frac{4}{e}$（舍去），
②當(dāng)a＞0時(shí)，h′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
（i）當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{1}{a}$≥e，h′（x）＜0在（0，e]上恒成立，
所以（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，
h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍去），
（ii）當(dāng)a＞$\frac{1}{e}$時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜e，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上遞減，
當(dāng)$\frac{1}{a}$＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（$\frac{1}{a}$，e）上遞增，
所以，h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，
所以a=e²滿足條件，
綜上，存在a=e²，使當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查存在性問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．