Question

一個(gè)多面體的三視圖及直觀圖如圖所示，M，N分別是A₁B，B₁C₁的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：MN⊥平面A₁BC；
(Ⅱ)求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大��；
(Ⅲ)求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

解：由三視圖可知，在這個(gè)多面體的直觀圖中，AA1⊥平面ABC， 且AC⊥BC，AC=BC=CC1=a， (Ⅰ)連接AC1，AB1，因?yàn)锽C⊥平面ACC1A1， 所以BC⊥AC1，在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1， 又因?yàn)锽C∩A1C=C， 所以AC1⊥平面A1BC， 由正方形性質(zhì)知AB1過A1B的中點(diǎn)M， 在△AB1C1中，MN∥AC1， 所以MN⊥平面A1BC。
(Ⅱ)由題意CA，CB，CC1兩兩垂直， 故以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 又AC=BC=CC1=a，則B(0，a，0)，B1(0，a，a)，A(a，0，0)， ， 則， 又AC1⊥平面A1BC， 故為平面A1BC的法向量，， 所以，， ， 因此直線BC1和平面A1BC所成角的大小為30°。 (Ⅲ)AB中點(diǎn)E的坐標(biāo)為， 易知為平面AA1B的法向量，又為平面A1BC的法向量， 設(shè)二面角A-A1B-C為θ， 則， 由題意，知θ為銳角，所以θ=60°， 即二面角A-A1B-C為60°。