Question

19．已知橢圓一焦點與短軸兩端連線的夾角為90°，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1  （a＞b＞0），作出圖形分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，由離心率計算公式計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1  （a＞b＞0），
如圖：OA=b，OC=c，∠ACB=90°，
分析可得AC=$\sqrt{2}$OC，即a=$\sqrt{2}$c，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，解題的關鍵是由題干條件得到b、c的關系．