Question

判斷下列函數(shù)的奇偶性.

（1）f（x）=x+；                    （2）f（x）=x²+；

（3）f（x）=；                   （4）f（x）=；

（5）f（x）=

Answer 1

解析：判斷函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系.

解：（1）定義域?yàn)锳={x|x∈R，且x≠0}.

∵對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），

∴f（x）=x+為奇函數(shù).

（2）定義域?yàn)锳={x|x∈R，且x≠0}.

∵對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（-x）=（-x）²+=x²+=f（x），

∴函數(shù)f（x）=x²+為偶函數(shù).

（3）函數(shù)的定義域?yàn)锳={x|x＞0}，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，

∴函數(shù)f（x）=為非奇非偶函數(shù).

（4）由得x²=1.∴x=±1.

∴函數(shù)的定義域?yàn)閧-1，1}.于是f（x）=0，x∈{-1，1}，

    滿足f（-x）=f（x）=0，f（-x）=-f（x）=0.

∴f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).

（5）分段函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

    當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，f（-x）=-（-x）²-1=-（x²+1）=-f（x）；

    當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）²+1=x²+1=-（-x²-1）=-f（x） .

    綜上所述，在（-∞，0）∪（0，+∞）上總有f（-x）=-f（x），

∴f（x）是奇函數(shù).