Question

【題目】已知橢圓:的左、右點(diǎn)分別為點(diǎn)在橢圓上，且

(1)求橢圓的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(1,0)作斜率為的直線(xiàn)交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若求直線(xiàn)的方程；

(3)點(diǎn)P、Q為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線(xiàn)的斜率之積為求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5

【解析】

（1）由點(diǎn)在橢圓上，且，列出方程組求出，，由此能求出橢圓的方程．

(2) 設(shè)直線(xiàn)l的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，再利用數(shù)量積和韋達(dá)定理求出k的值，即得直線(xiàn)方程；

（3）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，求出，同理求出，證明為定值．

(1）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，

點(diǎn)在橢圓上，且，

，解得，，

橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，

設(shè)，，，，

由，得，

所以，

又，，，

所以，

所以，

所以，均滿(mǎn)足題意.

所以直線(xiàn)的方程為或.

（3）設(shè)直線(xiàn)，

聯(lián)立方程組，得，

，

又直線(xiàn)，

同理，得，

，為定值．