Question

已知數(shù)列｛a_n｝滿足(n-1)a_n+1=(n+1)(a_n-1)且a₂=6,設b_n=a_n+n(n∈N^*).

(1)求{b_n}的通項公式；

(2)求(+++…+)的值.

Answer 1

解:(1)n=1時，由(n-1)a_n+1=(n+1)(a_n-1),得a₁=1.

    n=2時，a₂=6代入得a₃=15.

    同理,a₄=28,再代入b_n=a_n+n,有b₁=2,b₂=8,b₃=18,b₄=32,由此猜想b_n=2n².

    要證b_n=2n²,只需證a_n=2n²-n.

    ①當n=1時，a₁=2×1²-1=1成立.

    ②假設當n=k時，a_k=2k²-k成立.

    那么當n=k+1時，由(k-1)a_k+1=(k+1)(a_k-1),得a_k+1=(a_k-1)

    =(2k²-k-1)=(2k+1)(k-1)

    =(k+1)(2k+1)=2(k+1)²-(k+1).

    ∴當n=k+1時，a_n=2n²-n正確，從而b_n=2n².

    (2)(++…+)=(++…+)

    =［++…+］

    =［1-+-+…+-］

    =［1+--］

    =.