Question

1．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≤0}\\{x+2y-5≥0}\\{y-2≤0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$的取值范圍是[-$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$]，z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的取值范圍是[2，$\frac{10}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$=k-$\frac{1}{k}$，z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
k的幾何意義為原點(diǎn)的直線的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（3，1）
由$\left\{\begin{array}{l}{y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
則k_OA=2，k_OC=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}$≤k≤2，則z=$\frac{y}{x}$-$\frac{x}{y}$=k-$\frac{1}{k}$，在$\frac{1}{3}$≤k≤2為增函數(shù)，
則$\frac{1}{3}$-3≤z≤2-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{8}{3}$≤z≤$\frac{3}{2}$，
z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$，在$\frac{1}{3}$≤k≤1上為減函數(shù)，則1≤k≤2為增函數(shù)，
則最小值為z=1+1=2，
當(dāng)k=$\frac{1}{3}$時(shí)，z=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
當(dāng)k=2時(shí)，z=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$＜$\frac{10}{3}$，
則z=$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=k+$\frac{1}{k}$的最大值為$\frac{10}{3}$，
則2≤z≤$\frac{10}{3}$，
故答案為：[-$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$]，[2，$\frac{10}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線的斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．