Question

如圖,在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,AA₁=，AB=1，E是DD₁的中點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小;

(2)求證:B₁D⊥AE;

(3)求二面角C-AE-D的大小.

Answer 1

解法一：(1)解：連結(jié)A₁D.

∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁.

∴A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影.

∴∠A₁DB₁是直線(xiàn)B₁D和平面A₁ADD₁所成的角.

在Rt△B₁A₁D中，tan∠A₁DB₁==,

∴∠A₁DB₁=30°.

即直線(xiàn)B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小是30°.

(2)證明：在Rt△A₁AD和Rt△ADE中，

∵==，∴△A₁AD∽△ADE.

∴∠A₁DA=∠AED.

∴∠A₁DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°.

∴A₁D⊥AE.

由(1)知，A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，

根據(jù)三垂線(xiàn)定理,得B₁D⊥AE.

(3)解：設(shè)A₁D ∩AE=F,連結(jié)CF.

∵CD⊥平面A₁ADD₁,且AE⊥DF,

根據(jù)三垂線(xiàn)定理,得AE⊥CF,

∴∠DFC是二面角CAED的平面角.

在Rt△ADE中,由AD·DE=AE·DFDF==.

在Rt△FDC中，tan∠DFC==，

∴∠DFC=60°，

即二面角CAED的大小是60°.

解法二：∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴DA、DC、DD₁兩兩互相垂直.

如圖,以D為原點(diǎn),直線(xiàn)DA,DC,DD₁分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B₁(1,1,2)

(1)解：連結(jié)A₁D,∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱,

∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁.

∴A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影.

∴∠A₁DB₁是直線(xiàn)B₁D和平面A₁ADD₁所成的角.

∵A₁(1,0,),∴=(1,0,),=(1,1,),

∴cos〈,〉==.

∴∠A₁DB₁=30°，

即直線(xiàn)B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小是30°.

(2)證明：∵E是DD₁的中點(diǎn)，

∴E(0，0，).∴=(-1,0,).

∵=-1+0+1=0，

∴B₁D⊥AE.

(3)解：設(shè)A₁D∩AE=F,連結(jié)CF.

∵CD⊥平面A₁ADD₁,且AE⊥DF,

根據(jù)三垂線(xiàn)定理,得AE⊥CF,

∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角.

根據(jù)平面幾何知識(shí),可求得F(,0,),

∴=(,0,-),=(,1,-).

∴cos〈,〉==，

∴二面角C-AE-D的大小是60°.