Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
（1）令b_n=a_n+$\frac{1}{3}$，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=4a_n-1+1（n≥2）．即有a_n+$\frac{1}{3}$=4（a_n-1+$\frac{1}{3}$），由等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到．

解答 （1）證明：由于a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=4a_n-1+1（n≥2）．
即有a_n+$\frac{1}{3}$=4（a_n-1+$\frac{1}{3}$），
則數(shù)列{b_n}是公比為4，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得b_n=$\frac{5}{6}$•4^n-1，
則前n項(xiàng)和T_n=$\frac{\frac{5}{6}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{5}{18}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，注意構(gòu)造數(shù)列的思想方法，屬于中檔題．