Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，求實數(shù)a、b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若f（x）≤m²-2am+2對所有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，又對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，可得 恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，從而可求出a，b的值；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-2，2]時是單調(diào)函數(shù)，可得 ，從而得出 ，解之即可得出k的取值范圍．
（3）f（x）≤m²-2am+2對所有恒成立，等價于m²-2am≥0對所有a∈[-1，1]恒成立，從而構(gòu)造函數(shù)g（a）=m²-2am，故可求實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立
∴恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]時是單調(diào)函數(shù)，
∴
∴，
即實數(shù)k的取值范圍為（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m²-2am+2對所有恒成立，
等價于m²-2am≥0對所有a∈[-1，1]恒成立，
構(gòu)造函數(shù)g（a）=m²-2am，∴，∴m≥2或m≤-2
點評：本題以二次函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的恒成立問題及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵是掌握函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．