Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的圖象過原點和點P（2，$\frac{2}{3}$）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，建立方程關系即可得到結論．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的圖象過原點，
∴f（0）=0，則c=0，
則f（x）=$\frac{bx}{x+1}$，
∵函數(shù)過點P（2，$\frac{2}{3}$）．
∴f（2）=$\frac{2b}{2+1}=\frac{2b}{3}$=$\frac{2}{3}$，
則b=1，
即f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增，
設0＜x₁＜x₂，
∵f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=1-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$-1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的應用，利用定義法是解決本題的關鍵．