Question

11．（理科）設(shè)f（x）是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之和為（　�。�

• A． -8
• B． -3
• C． 3
• D． 8

Answer 1

分析 f（x）為偶函數(shù)推出f（-x）=f（x），x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)推出f（x）不是周期函數(shù)．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=-b，再利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
又滿足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$），
∴x=$\frac{x+3}{x+4}$或-x=$\frac{x+3}{x+4}$，
可得，x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
∴x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-3-5=-8，
故選：A

點(diǎn)評 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決此類題型要注意變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．