Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)S_n=pⁿ+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的充要條件.

Answer 1

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1.

解析:

a₁=S₁=p+q.

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n－S_n－1=p^n－1(p－1)

∵p≠0,p≠1,∴=p

若{a_n}為等比數(shù)列，則=p

∴=p,

∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1

這是{a_n}為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=－1是{a_n}為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)q=－1時(shí)，∴S_n=pⁿ－1(p≠0,p≠1)，a₁=S₁=p－1

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n－S_n－1=pⁿ－p^n－1=p^n－1(p－1)

∴a_n=(p－1)p^n－1  (p≠0,p≠1)

=p為常數(shù)

∴q=－1時(shí)，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列.即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列的充要條件為q=－1.