Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

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，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，G，F(xiàn)分別為AD，CE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面CDE；
（Ⅱ）求證：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在線段AE上找一點(diǎn)R，使得面BDR⊥面DCB，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（I）如下圖所示：



由已知得：DE⊥AE，DE⊥EC
∴DE⊥面ABCE．
∴DE⊥BC，又BC⊥CE，
∴BC⊥面DCE


（II）取AB中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC，
∴GH∥面BCD，F(xiàn)H∥面BCD．
∴面FHG∥面BCD，
∴GF∥面BCD．
（III）分析可知，R點(diǎn)滿(mǎn)足3AR=RE時(shí)，面BDR⊥面BDC．
理由如下：取BD中點(diǎn)Q，連接DR、BR、CR、CQ、RQ
容易計(jì)算CD=2，BD=2

2

，CR=

13

2

，DR=

21

2

，CQ=

2

，


在△BDR中
∵BR=

5

2

，DR=

21

2

，BD=2

2

，可知RQ=

5

2

，
∴在△CRQ中，CQ²+RQ²=CR²，
∴CQ⊥RQ．
又在△CBD中，CD=CB，Q為BD中點(diǎn)
∴CQ⊥BD，
∴CQ⊥面BDR，
∴面BDC⊥面BDR．