Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x+mx-2，g（x）=mx+lnx．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)m=-1時，試推斷方程：$|{g（x）}|=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$是否有實數(shù)解．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)f′（x）=e^x+m，從而討論m以確定導(dǎo)數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（II）當(dāng)m=-1時，g（x）=-x+lnx，（x＞0）；再求導(dǎo)g′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，從而求得|g（x）|≥1；再令h（x）=$\frac{lnx}{x}$$+\frac{1}{2}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；從而求得h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$$+\frac{1}{2}$＜1；從而判斷．

解答 解：（I）∵f（x）=e^x+mx-2，
∴f′（x）=e^x+m，
當(dāng)m≥0時，f′（x）＞0；
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)m＜0時，由f′（x）＞0解得，x＞ln（-m）；
由f′（x）＜0解得，x＜ln（-m）；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[ln（-m），+∞），
單調(diào)減區(qū)間為（-∞，ln（-m））；
（II）當(dāng)m=-1時，g（x）=-x+lnx，（x＞0）；
g′（x）=-1+$\frac{1}{x}$，
故g（x）在x=1處取得極大值，
故g（x）≤g（1）=-1；
故|g（x）|≥1；
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$$+\frac{1}{2}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$；
故h（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)；
故h（x）在x=e處取得最大值；
∴h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$$+\frac{1}{2}$＜1；
故方程$|{g（x）}|=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$沒有實數(shù)解．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的關(guān)系應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．