Question

10．已知集合A={x|x²-2x-8≤0，x∈R}，B={x|x²-（5+m）x+5m≤0，m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求實數(shù)m的值；
（2）設全集為R，若B⊆∁_RA，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出集合A，根據(jù)A∩B得出2是方程x²-（5+m）x+5m=0的一個根，從而求出m的值；
（2）先求出∁_RA，根據(jù)B⊆∁_RA，討論m的取值，求出滿足題意的m的取值范圍．

解答 解：（1）A=[-2，4]，方程x²-（5+m）x+5m=0的根為5，m，
且A∩B=[2，4]，∴2是方程x²-（5+m）x+5m=0的一個根，即m=2；
此時B=[2，5]，滿足條件，∴m=2；…（7分）
（2）∁_RA=（-∞，-2）∪（4，+∞），∵B⊆∁_RA，
B={x|x²-（5+m）x+5m≤0，m∈R}，
當m＞5時，B=[5，m]，顯然有[5，m]⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），符合題意，∴m＞5；
當m=5時，B={5}，顯然有{5}⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），符合題意，∴m=5；
當m＜5，B=[m，5]，由[m，5]⊆（-∞，-2）∪（4，+∞），得4＜m＜5；
綜上所述，m＞4．…（15分）

點評 本題考查了集合的簡單運算與不等式的解法與應用問題，是基礎題目．