Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）-e^x定義域為[-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：n＞m；
（3）求證：對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，并確定這樣的的個數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x
=x（x-1）•e^x．…（2分）
由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；
由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，…（6分）
又f（-2）=＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當t＞-2時，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）
（Ⅲ）證：因為，
，即為，
令，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在（-2，t）上有解，
下面討論解的個數(shù)：…（11分）
因g（-2）=6-，
g（t）=t（t-1）-=，
所以 ①當t＞4，或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）
②當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解．…（14分）
③當t=1時，g（x）=x²-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有僅有一解；
當t=4時，g（x）=x²-x-6=0，∴x=-2，或x=3，
所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，
且當t≥4，或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意；
當1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．…（16分）
分析：（Ⅰ）因為f′（x）=x（x-1）•e^x．由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，知欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，需-2＜t≤0．
（Ⅱ）因為f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，因為f（-2）=＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），由此能夠證明n＞m．
（Ⅲ）因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在（-2，t）上有解．由此能夠證明對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足，并能確定這樣的的個數(shù)．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是問題轉(zhuǎn)化為證明方程=0在（-2，t）上有解，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．