Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-1（x＞$\frac{1}{2}$）的圖象為C₁，C₁關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)圖象為C₂．
（1）求C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=g（x）的解析式及定義域M；
（2）對(duì)任意x₁，x₂∈M，并且x₁≠x₂，求證：3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|

Answer 1

分析 （1）利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)及反函數(shù)的性質(zhì)，能求出C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=g（x）的解析式及定義域M．
（2）首先可以假設(shè)x₁＜x₂，去絕對(duì)值符號(hào)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-1（x＞$\frac{1}{2}$）的圖象為C₁，C₁關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)圖象為C₂．
∴C₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=g（x）為：x=y³-1，x＞-$\frac{7}{8}$，
∴函數(shù)y=g（x）的解析式為$y=\root{3}{x+1}$，定義域M為{x|x＞-$\frac{7}{8}$}．
（2）∵x₁，x₂∈{x|x＞-$\frac{7}{8}$}，并且x₁≠x₂，
不妨設(shè)x₁＜x₂，
∴3|g（x₁）-g（x₂）|=3|$\root{3}{{x}_{1}+1}$-$\root{3}{{x}_{2}+1}$|=3（$\root{3}{{x}_{2}+1}$-$\root{3}{{x}_{1}+1}$），
∴4|x₁-x₂|=4（x₂-x₁），
因此要證明3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|等價(jià)于證明3（$\root{3}{{x}_{2}+1}$-$\root{3}{{x}_{1}+1}$）＜4（x₂-x₁），
即需證3$\root{3}{{x}_{2}+1}$-4x₂＜3$\root{3}{{x}_{1}+1}$）-4x₁，
令g（x）=3$\root{3}{x+1}$-4x，則g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{\frac{2}{3}}}$-4，當(dāng)x=-$\frac{7}{8}$時(shí)，g′（x）=0，由于h（x）=（x+1）${\;}^{\frac{2}{3}}$在x＞-$\frac{7}{8}$上遞增，則當(dāng)x＞-$\frac{7}{8}$時(shí)，g′（x）＜0，即g（x）=3$\root{3}{x+1}$-4x在x＞-$\frac{7}{8}$上為減函數(shù)，
∴g（x₂）＜g（x₁），即3$\root{3}{{x}_{2}+1}$-4x₂＜3$\root{3}{{x}_{1}+1}$）-4x₁，
∴對(duì)任意x₁，x₂∈M，并且x₁≠x₂，3|g（x₁）-g（x₂）|＜4|x₁-x₂|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反函數(shù)的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．