Question

已知函數(shù)，
（1）求f（x）的定義域；  
（2）討論f（x）函數(shù)的增減性．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的定義域可得a^x-1＞0，分a＞1和1＞a＞0兩種情況分別求出x的取值范圍，即得函數(shù)
的定義域．
（2）當(dāng)a＞1 時，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）函數(shù)的增減性，當(dāng)1＞a＞0時，同理根據(jù)復(fù)合函數(shù)
的單調(diào)性求出f（x）函數(shù)的增減性．
解答：解：（1）∵函數(shù)，∴a^x-1＞0．
當(dāng)a＞1 時，由 a^x-1＞0 解得 x＞0，此時，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．
當(dāng)1＞a＞0時，由 a^x-1＞0 解得 x＜0，此時，函數(shù)的定義域為（-∞，0）．
（2）當(dāng)a＞1 時，y=a^x-1是定義域（0，+∞）上的增函數(shù)，f（t）=log_at是（0，+∞）上的增函數(shù)，
故f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
當(dāng)1＞a＞0時，y=a^x-1是定義域（-∞，0）上的減函數(shù)，f（t）=log_at是（0，+∞）上的減函數(shù)，
故f（x）是（-∞，0）上的增函數(shù)．
綜上可得，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)．
點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類討論的
數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．