Question

設O點為坐標原點，曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點P,Q，滿足關于直線x+my+4=0對稱，又滿足·=0.

（1）求m的值；

（2）求直線PQ的方程.

Answer 1

解:（1）曲線方程為(x+1)²+(y-3)²=9，表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓.

∵點P,Q在圓上且關于直線x+my+4=0對稱,∴圓心（-1，3）在直線上，代入直線方程得m=-1.

（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，

∴設P(x₁,y₁），Q（x₂,y₂)，PQ方程y=-x+b.將直線y=-x+b代入圓方程,得2x²+2(4-b)x+b²-6b+1=0.

Δ=4(4-b)²-4×2×(b²-6b+1)＞0，得2-3＜b＜2+3.

由韋達定理得x₁+x₂=-(4-b),x₁·x₂=.

y₁·y₂=b²-b(x₁+x₂)+x₁·x₂=+4b.∵·=0,

∴x₁x₂+y₁y₂=0,即b²-6b+1+4b=0.解得b=1∈(2-3,2+3).

∴所求的直線方程為y=-x+1.