Question

已知ab≠0,求證：a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

證明：必要性：∵a+b=1,即b=1-a,

∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+（1-a）³+a（1-a）-a²-（1-a）²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.?

充分性：∵a³+b³+ab-a²-b²=0,

即（a+b）（a²-ab+b²）-（a²-ab+b²）=0,?

∴（a²-ab+b²）（a+b-1）=0.?

由ab≠0,即a≠0且b≠0,?

∴a²-ab+b²=（a-）²+≠0,只有a+b=1.

綜上可知，當(dāng)ab≠0時，a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.