Question

15．函數(shù)y=3sinx+4cosx（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的值域是[$\frac{5}{2}$，5]，取最大值時(shí)tanx的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦公式，把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．

解答 解：函數(shù)y=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+θ），其中tanθ=$\frac{4}{3}$．$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{π}{3}$，
則∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴x+θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
則當(dāng)x+θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為5，此時(shí)x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)x+θ=$\frac{5π}{6}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為$\frac{5}{2}$，
故函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{5}{2}$，5]，
當(dāng)x+θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)取得最大值為5，此時(shí)x=$\frac{π}{2}$-θ，所以tanx=tan（$\frac{π}{2}$-θ）=cotθ=$\frac{1}{tanθ}$=$\frac{3}{4}$，
故答案為：[$\frac{5}{2}$，5]；$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角差的正弦公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的最值，利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．