Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1,a_n+1=2a_n+1(n∈N^*).

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{b_n}滿足…=(n∈N^*),證明{b_n}是等差數(shù)列；

(3)證明（n∈N^*）.

Answer 1

（1）解:∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），

∴aⁿ⁺¹+1=2（a_n+1）.∴{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

∴a_n+1+=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）.

（2）證明:證法1：∵…=，

∴=，

∴2［（b₁+b₂+…+b_n）-n］=nb_n，①

2［（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）］=（n+1）b_n+1，②

②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，

即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③

nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0.④

④-③，得nb_n+2-2nb_n-1+nb_n=0.

即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，

∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*）.

∴{b_n}是等差數(shù)列.

證法2：同證法1，

得（n-1）b_n+1-nb_n+2=0.

令n=1，得b₁=2.

設(shè)b₂=2+d（d∈R），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n=2+（n-1）d.

①當(dāng)n=1、2時(shí)，等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，

b_k=2+k-1）d，

那么b_k+1=［2+（k-1）d］-

=2+［（k+1）-1］d.

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

根據(jù)①和②，可知b_n=2+（n-1）d對(duì)任何n∈N^*都成立.

∵b_n+1-b_n=d，∴{b_n}是等差數(shù)列.

（3）證明：∵，k=1，2，…，n，

∴.

∵,k=1，2，…，n，

∴.

∴（n∈N^*）.