Question

5．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A，B，C是圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AC⊥BC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值為11．

Answer 1

分析 由AC⊥BC，AB為直徑，可設(shè)A（-2，0），B（2，0），C（m，n），且m²+n²=4，求得|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|，可得幾何意義，即為圓上的點(diǎn)與（0，9）的距離，連接PO，延長交圓于D，計(jì)算即可得到所求最大值．

解答 解：由AC⊥BC，AB為直徑，可設(shè)A（-2，0），B（2，0），
C（m，n），且m²+n²=4，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），
即有|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|（-2，-3）+（2，-3）+（m，n-3）|
=|（m，n-9）|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-9）^{2}}$表示圓上的點(diǎn)與（0，9）的距離，
連接PO，延長交圓于D，|PD|即為最大值，
且為9+2=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的模的最大值，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形分析，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．