Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosC，bcosB，ccosA依次成等差數(shù)列．
（1）求角B；
（2）若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,不等式的解法及應用

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質以及正弦定理，結合兩角和的正弦公式和內角和定理，求出B的余弦值，然后求角B的大��；
（2）由△ABC的外接圓的面積為π，求出半徑，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，結合基本不等式，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA依次成等差數(shù)列．
∴acosC+ccosA=2bcosB，
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
則sinB=2sinBcosB，
∴cosB=

1

2

，
由于0＜B＜π，則B=

π

3

；
（2）∵△ABC的外接圓的面積為π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=2×1×

3

2

=

3

，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
當且僅當a=c時，取等號，即ac的最大值為3，
∴△ABC面積為

1

2

acsinB≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．
則△ABC面積的最大值為

3 3

4

．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查三角形的內角和定理的應用，考查基本不等式的運用：求最值，注意角的范圍的應用，考查計算能力．