Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+x2+3x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-3，4]上的最小值為

7

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，解不等式可求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由（1）可知函數(shù)的極值點，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，4]上的單調(diào)性，將極小值與函數(shù)的端點函數(shù)值比較，即可求出f（x）在[-3，4]上的最小值，由此可求a的值．

解答：解：（1）∵f′（x）=-x²+2x+3，令f′（x）＜0，則-x²+2x+3＜0．
解得：x＜-1或x＞3．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）．  …（6分）
（2）列表如下：

x	-3	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）

∴f（x）在（-3，-1）和（3，4）上分別是減函數(shù)，在（-1，3）上是增函數(shù)．       …（8分）
又∵f(-1)=a-

5

3

，f(4)=a+

20

3

，
∴f（-1）＜f（4）．…（12分）
∴f（-1）是f（x）在[-3，4]上的最小值．
∴a-

5

3

=

7

3

．解得a=4．…（14分）

點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)小于0，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法．