Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）．若f（x）在區(qū)間（1，3）上具有單調(diào)性，且f（1）=-f（3）=-f（5），則ω=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意函數(shù)的一條對稱軸為x=4，一個對稱中心為（2，0），區(qū)間（1，3）的兩個端點離與它最近的對稱軸的距離為1，可得函數(shù)的周期為8，從而求得ω的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0），
∵f（1）=-f（3）=-f（5），∴f（3）=f（5），∴函數(shù)的一條對稱軸為x=$\frac{3+5}{2}$=4．
∵f（x）在區(qū)間（1，3）上具有單調(diào)性，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥3-1，∴ω≤$\frac{π}{2}$．
由f（1）=-f（3），可得函數(shù)的圖象的一個對稱中心為（2，0），
且此對稱中心恰好為區(qū)間（1，3）的中點，
∴直線 x=3到對稱軸為x=4 的距離等于1，故直線 x=1到離它最近的對稱軸的距離也等于1，
故函數(shù)周期為2（1+2+1）=8，故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{ω}$=8，∴ω=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查f（x）=Asin（ωx+φ）型圖象的形狀，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，是中檔題．