Question

如下圖的數(shù)表中每一個(gè)數(shù)都是某個(gè)正整數(shù)的倒數(shù)，起始行（第0行）為1，每一個(gè)數(shù)都等于腳下兩數(shù)之和.

（1）試填寫第1行和第2行，填法是否唯一，并說明理由.

（2）注意第n行（n=0,1,2,…）的第1個(gè)數(shù)為1n+1，猜想此時(shí)第n行第r個(gè)數(shù)（不證明）.

Answer 1

解析：（1）=1,(m,n∈N^*),則有,n與n-1互質(zhì)，故m=2,n=2,第一行為,,令= (m,n∈N^*),

則有.

當(dāng)n-2=1時(shí)，n=3,m=6;

當(dāng)n-2=2時(shí)，n=4,m=4;

當(dāng)n-2是n的約數(shù)時(shí)，記n=R(n-2)(R∈N^*),(R-1)n=2R,R與R-1互質(zhì)，所以R-1=2，R=3，此時(shí)n=3,進(jìn)而知m=6.故第二行填法不唯一，可為，，，也可為，，.

（2）猜想：令第3行第1個(gè)數(shù)為，則第3行各數(shù)依次為，，，.

第1行：;

第2行：;

第3行：；

……

第n行：…,.

∴猜想第n行第r個(gè)數(shù)為.