Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：，n∈N*，且a₁=2，a₂=4，
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N*，證明：{c_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N*，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由，可得，
又，
當(dāng)n=1時(shí)，，由，可得；
當(dāng)n=2時(shí)，，可得；
當(dāng)n=3時(shí)，，可得。
（Ⅱ）證明：對(duì)任意n∈N*，
，    ①
，    ②
， ③
②-③，得， ④
將④代入①，可得，
即，
又，
故，
因此，所以{c_n}是等比數(shù)列。
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可得，
于是，對(duì)任意k∈N*且k≥2，有

將以上各式相加，得，
即，
此式當(dāng)k=1時(shí)也成立；
由④式得，
從而，
，
所以，對(duì)任意n∈N*，n≥2，






，
對(duì)于n=1，不等式顯然成立。