Question

如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線(xiàn)上，
（Ⅰ）求AD邊所在直線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圓的方程；
（Ⅲ）若動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)锳B邊所在直線(xiàn)的方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，
所以直線(xiàn)AD的斜率為-3，
又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線(xiàn)AD上，
所以AD邊所在的直線(xiàn)的方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0。
（Ⅱ）由，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為M（2，0），
所以M為矩形ABCD外接圓的圓心，
又，
從而矩形ABCD外接圓的方程為。
（Ⅲ）因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)點(diǎn)N，所以|PN|是該圓的半徑，
又因?yàn)閯?dòng)圓P與圓M外切，
所以，，
即，
故點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線(xiàn)的左支。
因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)a=，半焦距c=2，
所以虛半軸長(zhǎng)，
從而動(dòng)圓P的圓心的軌跡方程為。