Question

17．如圖，有一塊形狀為等腰直角三角形的薄板，腰AC的長為a米（a為常數(shù)），現(xiàn)在斜邊AB選一點D，將△ACD沿CD折起．翻扣在地面上，做成一個遮陽棚，如圖（2），設△BCD的面積為S，點A到直線CD的距離為d，實踐證明，遮陽效果y與S，d的乘積Sd成正比，比例系數(shù)為k，（k為常數(shù)，且k＞0）
（1）設∠ACD=θ，試將S表示為θ的函數(shù)
（2）當點D在何處時，遮陽效果最佳（即y取得最大值）

Answer 1

分析 （1）△BCD中，利用正弦定理求出CD，再求△BCD的面積；
（2）y=kSd=$\frac{k{a}^{3}sinθcosθ}{2（sinθ+cosθ）}$，換元確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結論．

解答 解：（1）△BCD中，$\frac{a}{sin（θ+45°）}=\frac{CD}{sin45°}$，
∴CD=$\frac{a}{\sqrt{2}sin（θ+45°）}$，
∴S=$\frac{1}{2}BC•CD•$sin∠BCD=$\frac{\sqrt{2}{a}^{2}cosθ}{4sin（θ+45°）}$，0°＜θ＜90°；
（2）d=asinθ，
y=kSd=$\frac{k{a}^{3}sinθcosθ}{2（sinθ+cosθ）}$，
令sinθ+cosθ=t，則t∈（1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{k{a}^{3}}{4}$（t-$\frac{1}{t}$）在區(qū)間（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
∴t=$\sqrt{2}$時，y取得最大值，此時$θ=\frac{π}{4}$，
即D在AB中點時，遮陽效果最佳．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查正弦定理的運用，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)關系是關鍵．